OPERASI BINER

Definisi Operasi Biner
Operasi biner pada himpunan tidak kosong S adalah pemetaan dari S × S ke S.
Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, ×, ,  ,  ,  , dan sebagainya.
Hasil dari sebuah operasi, misalnya  , pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a  b.
Contoh Operasi Biner
 Operasi pembagian pada bilangan riil.
 Warna rambut anak yang ditentukan oleh warna rambut orang tuanya.
 Operasi biner  yang didefinisikan sebagai
a  b = a + b – 2ab. Sifat Operasi Biner
Misalkan  dan  adalah operasi biner.
Operasi  dikatakan :
1. KOMUTATIF,
jika a  b = b  a, untuk setiap a, b.
2. ASOSIATIF,
jika (a  b)  c = a  (b  c), untuk setiap a, b, c.
3. Mempunyai IDENTITAS,
jika terdapat e sedemikian hingga a  e = e  a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS KIRI,
jika terdapat e1 sedemikian hingga e1  a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS KANAN,
jika terdapat e2 sedemikian hingga a  e2 = a, untuk setiap a.
4. Mempunyai sifat INVERS,
jika untuk setiap a terdapat a-1 sedemikian hingga
a  a-1 = a-1  a = e,
dimana e adalah elemen identitas untuk operasi .
a-1 disebut invers dari elemen a.
5. DISTRIBUTIF terhadap operasi  dan ,
jika untuk setiap a, b, c berlaku
a  (b  c ) = ( a  b)  (a  c)
dan
(b  c )  a = ( b  a)  (c  a).
Contoh
Operasi biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena untuk sembarang bilangan x dan y berlaku x + y = y + x.
Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x, y, z berlaku (x + y) + z = x + (y + z).
Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0.
Invers penjumlahan untuk sembarang bilangan p adalah –p, karena p + (-p) = 0.
Contoh
Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan, karena untuk setiap bilangan a, b dan c berlaku
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
dan
(b + c) × a = (b × a) + (c × a).
Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian, karena terdapat p, q dan r dimana
p + (q × r)  (p + q) × (p + r).
Contoh:
2 + (3 × 4)  (2 + 3) × (2 + 4).
Definisi Sifat Tertutup
Himpunan S dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner , jika untuk setiap a, b  S berlaku
a  b  S.
Contoh
1. Himpunan bilangan bulat Z tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, karena untuk setiap x, y  Z berlaku x + y  Z.
2. Himpunan bilangan bulat Z tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena terdapat 2, 3  Z dimana 2 : 3  Z.
3. Misalkan A = {0,1}.
A tertutup terhadap operasi perkalian biasa karena:
0 × 0 = 0  A
0 × 1 = 0  A
1 × 0 = 0  A
1 × 1 = 1  A
A tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa karena 1 + 1 = 2  A.
4. Misalkan A = {0,1}. Didefinisikan operasi biner sebagai berikut:
a  b = (a × b) + b
dengan × dan + masing-masing adalah operasi perkalian dan penjumlahan biasa.
A tidak tertutup terhadap operasi biner  karena
1  1 = (1 × 1) + 1 = 2  A.
5. Misalkan B = {4, 5}.
B tertutup tidak tertutup terhadap operasi perkalian biasa karena 4 × 5 = 20  B.
B tertutup tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa karena 4 + 4 = 8  B.